مواضيع البحث في التحليل العددي والحوسبة العلمية
تُظهر اهتمامات البحث في مجال التحليل العددي بقسم الرياضيات مجموعة واسعة ومتكاملة من المواضيع. وفيما يلي ملخص يبرز القضايا البحثية المتداخلة:
1.    الطرق العددية والرياضيات الحاسوبية
•    تُعد الطرق العددية (مثل طرق العناصر المحدودة، والتقريب الطيفي، والطرق الحاسوبية) محورًا أساسيًا لحل النماذج الرياضية في العلوم الأساسية والهندسة.
•    يركز البحث على المشكلات الأولية ومشكلات القيم الحدية للمعادلات التفاضلية الجزئية والمعادلات التفاضلية الوظيفية، مع تطبيقات في الفيزياء والهندسة.
•    تُعزز الحوسبة المتوازية والحوسبة عالية الأداء كفاءة هذه الطرق في التعامل مع المشكلات واسعة النطاق.
2.    التفاضل الكسري
•    يُوسع التفاضل الكسري الدراسة التحليلية والعددية للمعادلات التفاضلية الجزئية والعادية، مما يقدم حلولًا مبتكرة لنمذجة الأنظمة المعقدة.
3.    الأمثلية الرياضية والذكاء الاصطناعي
•    تُشكل طرق الأمثلية المتطورة والعصرية نقطة تقاطع حيوية بين النظرية الرياضية والعلوم التطبيقية، حيث تُستخدم في معالجة المشكلات في مجالات متعددة مثل تقدير المعاملات والتحقق من النماذج.
•    يستفيد الذكاء الاصطناعي (AI) والتعلم الآلي (ML) من طرق الأمثلية والطرق العددية لتطوير نماذج تحاكي التفكير والتعلم البشري باستخدام الشبكات العصبية.
•    تُظهر الخوارزميات الجينية والشبكات العصبية الاصطناعية (ANNs) التكامل بين الحساب العددي والأمثلية والذكاء الاصطناعي لتوفير حلول مبتكرة.

التوجهات البحثية الحالية في الهندسة والتوبولوجيا

1.    هندسة الأسطح الريمانية (أو الفضائية الفوقية) في الفضاءات الريمانية (أو اللورنتزية). يتم تنفيذ هذا البحث كجزء من المشروع RSPD2024R1053 في إطار برنامج دعم الباحثين بدعم من عماد البحث العلمي بالجامعة. 
o    الأسطح الريمانية والفضائية : دراسة وتصنيف الأسطح الريمانية والفضائية (خاصة المتراصة) من حيث انحناء ريشي والانحناء العددي، بالإضافة إلى الانحناء الوسيطي، في الفضاءات الريمانية واللورنتزية  خوصًا في فضاءات GRW.
2.    هندسة زمر لي وجبر لي.
o    هندسة زمر لي:  تحليل زمر لي وبنياتها المتجانسة مع التركيز على المقاييس الريمانية ذات التغاير اليساري، والانحناء، وبنية الزمر الجزئية. يشمل البحث دراسة محددة لزمر لي شبه البسيطة وتطبيقاتها في الفيزياء.
o    التدفقات الجيوديسية: دراسة الاكتمال الجيوديسي للمقاييس الريمانية (خاصة اللورنتزية) ذات التغاير اليساري على زمر لي وأهميتها في الأنظمة الديناميكية.
3.    حلول ريشي على الأسطح في الفضاءات الريمانية واللورنتزية. يتم تنفيذ هذا البحث كجزء من المشروع RSPD2024R824  في إطار برنامج دعم الباحثين بدعم من عماد البحث العلمي بالجامعة. 
o    حلول ريشي الريمانية : دراسة حلول ريشي كحلول لتدفق ريشي، مع التركيز على خصائصها وتصنيفها وصلابتها للأسطح الريمانية في الفضاءات الريمانية واللورنتزية.
o    الحلول شبه ريشي وحلول يامابي:  بحث في الحلول شبه ريشي وحلول يامابي على الأسطح الريمانية مع التركيز على خصائصها وتصنيفها.
4.    الزمر ذات مجموعات الفروقات، التصاميم المتماثلة ، نظرية الصداقة، والرسومات شديدة الانتظام.
5.    المعادلة التفاضلية الجزئية غير الخطية على عديد الطيات . يتم تنفيذ هذا البحث كجزء من المشروع RSP-2024/57   في إطار برنامج دعم الباحثين بدعم من عماد البحث العلمي بالجامعة.
•    في المجال العام للمعادلات التفاضلية الجزئية على عديد طيات ريماني كامل وغير متراص، تم بذل جهود كبيرة لفهم آلية الهيكلية للتفجر في حلول المعادلات التطورية. بالنسبة للتطبيقات، نشير إلى عمليات التفاعل–الانتشار في ميكانيكا الموائع وتدفقات الاضطراب، التي تُعبر غالبًا عن طريق معادلات غير خطية. لا يزال هذا الموضوع البحثي يجذب اهتمام كل من علماء الرياضيات النظرية والعلماء المهتمين بالنظريات التطبيقية. التحدي الأول يتمثل في وصف سلوك الحلول وإجراء تحليل مقارب للحلول بالقرب من أي نوع من أنواع التفردات. أما التحدي الثاني فيكمن في وضع شروط كافية لوجود أو عدم وجود حلول شاملة أو محلية.

## قائمة الاهتمامات البحثية لأعضاء هيئة التدريس في الرياضيات التطبيقية بقسم الرياضيات

1. **المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs) والمعادلات التفاضلية الوظيفية (FDEs)**
  يظل هذا المجال البحثي أساسيًا لنمذجة الظواهر الواقعية، حيث يشكل حجر الزاوية في التحليل الرياضي لمختلف التخصصات، بما في ذلك الفيزياء والهندسة والتمويل والأحياء. تعمل الطرق الطيفية وحساب التفاضل الكسري على توسيع نطاق دراستها التحليلية والعددية.

2. **الرياضيات الحاسوبية**
  يتضمن هذا الفرع تطوير وتطبيق الخوارزميات العددية لحل المشكلات الرياضية، وخاصة مسائل القيم الابتدائية والحدودية لمختلف فئات المعادلات التفاضلية الجزئية.

3. **الرياضيات الحيوية**
  يستخدم هذا المجال النماذج الرياضية لفهم وحل المشكلات في علم الأحياء. ويغطي مجموعة واسعة من التطبيقات، من نمذجة ديناميكيات السكان والنظم البيئية إلى فهم انتشار الأمراض والأساس الجيني للتطور.

4. **تكنولوجيا النانو**
  يركز هذا المجال من الرياضيات التطبيقية على المشكلات المتعلقة بتصميم وإنتاج واستخدام الهياكل والأجهزة والأنظمة من خلال التلاعب بالذرات والجزيئات على المستوى النانوي.

5. **التحسين الرياضي**
  يُعرف أيضًا بالبرمجة الرياضية، ويركز هذا المجال البحثي على إيجاد أفضل حل من مجموعة من الحلول الممكنة.

6. **التحليل متعدد الكسور**
  يهتم هذا المجال بالانتظام المحلي للإشارات ويوفر أداة تصنيف قوية في مجالات مختلفة. تم تطبيقه بنجاح في معالجة الإشارات الطبية الحيوية، والجيوفيزياء، والتمويل، ومعالجة الصور.

7. **النمذجة الرياضية**
  تتضمن النمذجة الرياضية وصف المشكلات الواقعية باستخدام المعادلات التفاضلية العادية والجزئية، وكذلك أنواع أخرى من المعادلات التفاضلية الوظيفية، لفهم واكتشاف رؤى جديدة حول المشكلة المطروحة.

8. **الرياضيات الاكتوارية والمالية**
  يركز هذا المجال على تطوير وتحليل وتطبيق النماذج والتقنيات الرياضية لحل المشكلات في التمويل والتأمين والمعاشات التقاعدية والاستثمار وإدارة المخاطر.

9. **التحليل العشوائي**
  تُستخدم العمليات العشوائية على نطاق واسع كنماذج رياضية للأنظمة والظواهر التي تُظهر سلوكًا عشوائيًا. ويشمل ذلك، على وجه الخصوص، التفاضل والتكامل العشوائي، والمعادلات التفاضلية العشوائية (SDEs)، والمعادلات التفاضلية الجزئية العشوائية (SPDEs).